Je třeba odlišovat dvě věci. Google Authenticator je jeden z mnoha klientů, kteří umí generovat OTP (one-time password). Alternativně můžeš použít Microsoft Authenticator, Authy, Authenticator Plus, LastPass Authenticator atd. Všechny fungují na stejném principu a Google tam nedělá nic jiného než ostatní.
A pak jsou služby, které OTP používají jako jedno z možností dvoufázového ověřování. Nasadil to Google, ale má to tam stejně i Microsoft, FB, Twitter, Dropbox, Mozilla, Adobe, Amazon, Ubisoft atd. U všech můžeš použít libovolný ze zmíněných Authenticatorů.
No a teď nevím, kde je chyba u tebe konkrétně. Sám jsem s OTP neměl problém ani v účtu Googlu, ani přímo s Google Authenticatorem, který jsem používal i pro další účty.